MAT 3 02 - Análise Funcional

Regente

Professor Doutor José Luis Silva

Objectivos

Capítulo 1. Espaços métricos: Definir, identificar e construir espaços métricos completos ou não. Identificar o completado de um espaço métrico não completo. Identificar aplicações contínuas entre espaços métricos Capítulo 2. Espaços normados. Definir, identificar e construir espaços normados e espaços de Banach e de Hilbert. Definir e trabalhar com bases em espaços de dimensão infinita. Capítulo 3. Espaços de Hilbert: Identificar espaços de Hilbert e conceitos associados. Capítulo 4. Operadores lineares: Definir operador linear limitados e calcular a norma. Definir funcionais lineares limitados e e mostrar que o espaço dos operadores lineares limitados é um espaço de Banach.

Sinopse

Capítulo 1. Espaços métricos a) Definir, identificar e construir espaços métricos completos ou não b) Provar que um determinado espaço métrico é completo c) Identificar as étapas na construção do completado de um espaço métrico d) Identificar o competado de determinados espaços métricos incompletos e) Identificar aplicações contínuas entre espaços métricos Capítulo 2. Espaços normados. Espaços de Banach a) Definir, identificar e construir espaços normados e espaços de Banach b) Construir uma base de Schauder para os espaços normados separáveis mais comuns c) Definir e construir espaços normados de dimensão finita Capítulo 3. Espaços de Hilbert a) Definir produto interno e espaço com produto interno b) Definir espaço de Hilbert e dar exemplos clássicos c) Definir o conceito de ortogonalidade e provar que dois vectores num espaço de Hilbert são ou não ortogonais. d) Saber as (des)igualdades clássicas: Cauchy-Schwarz, paralelogramo, polarização. e) Definir espaços de Hilbert isomorfos e construir exemplos f) Nostrar que o produto interno é uma aplicação contínua Capítulo 4. Operadores lineares a) Definir operador linear entre espaços normados e dar exemplos clássicos b) Definir operador inverso e calcular operadores inversos c) Definir operador linear limitado e contínuo d) Definir e calcular a norma de um operador linear limitado e) Definir restição e extensão de um operador linear limitado Capítulo 5. Funcionais lineares a) Definir funcional linear limiado e dar exemplos clássicos b) Identificar funcionais lineares em espaços de dimensão finita c) Mostrar que o espaço dos operadores lineares é um espaço normado d) Definir e identificar o espaço dual de um espaço normado