MAT 3 04 - Análise Funcional Avançada

Regente

Objectivos

Capítulo 5. Produto de Operadores. Definir, identificar e construir produto de operadores e operador inverso, averiguar se um determinado operador é ou não invertível. Capítulo 6. Definir espaço dual de uma espaço normado e identificar o dual dos espaços R^n, l^1(R), l^p(R). Calcular normas de funcionais definidos em espaços de Banach. Capítulo 7. Definir o operador adjunto num espaço normado e calculoar a sua norma. Definir operador os diferentes tipos de operadores num espaço de Hilbert e não só. Capítulo 8. Definir o espectro e o resolvente de um operador em dimensão finita. Definir e calcular o espectro de um operador linear limitado como a união disjunta dos espectros discreto, contínuo e residual. Enunciar o teorema de Hahn-Banach, teorema de Banach-Steinhaus, teorema da aplicação aberta e teorema do gráfico fechado.

Sinopse

Capítulo 5. Produto de Operadores. Operadores inversos a) Definir, identificar e construir produto de operadores b) Definir o operador inverso e averiguar se um determinado operador é ou não invertível. c) Calcular operadores inversos d) Usar o Teorema sobre o inverso do operador I-A para calcular operadores inversos. Capítulo 6. Espaços duais a) Definir espaço dual de uma espaço normado b) Saber identificar os duais dos espaço normados: R^n, l^1(R), l^p(R). c) Calcular normas de funcionais definidos em espaços de Banach. d) Definir e identificar espaços reflexivos Capítulo 7. Operadores em espaços normados a) Definir o operador adjunto num espaço normado. b) Provar que a norma do operador adjunto é igual à norma do operador original. c) Definir operador adjunto, auto-adjunto, normal, unitário e de projecção num espaço de Hilbert d) Definir e identificar operadores compactos. e) Propriedades de operadores compactos. Capítulo 8. Teoria espectral de operadores lineares a) Definir o espectro e o resolvente de um operador em dimensão finita. b) Identificar o espectro de um operador dado por uma matriz Hermitiana, anti-Hermitiana e unitária. c) Definir e calcular o espectro de um operador linear limitado como a união disjunta dos espectros discreto, contínuo e residual. d) Enunciar o teorema espectral Capítulo 9. Teoremas fundamentais dos espaços normados a)Enunciar o teorema de Hahn-Banach, teorema de Banach-Steinhaus, teorema da aplicação aberta e teorema do gráfico fechado.